.NET HttpClient. Как отправить строковое значение POST?

Ниже приведен пример синхронного вызова, но вы можете легко перейти на асинхронный, используя await-sync:

var pairs = new List<KeyValuePair<string, string>>
            {
                new KeyValuePair<string, string>("login", "abc")
            };

var content = new FormUrlEncodedContent(pairs);

var client = new HttpClient {BaseAddress = new Uri("http://localhost:6740")};

    // call sync
var response = client.PostAsync("/api/membership/exist", content).Result; 
if (response.IsSuccessStatusCode)
{
}

Здесь я нашел эту статью, в которой отправляется почтовый запрос с использованием данных JsonConvert.SerializeObject() & StringContent() в HttpClient.PostAsync

static async Task Main(string[] args)
{
    var person = new Person();
    person.Name = "John Doe";
    person.Occupation = "gardener";

    var json = Newtonsoft.Json.JsonConvert.SerializeObject(person);
    var data = new System.Net.Http.StringContent(json, Encoding.UTF8, "application/json");

    var url = "https://httpbin.org/post";
    using var client = new HttpClient();

    var response = await client.PostAsync(url, data);

    string result = response.Content.ReadAsStringAsync().Result;
    Console.WriteLine(result);
}

На сайте asp.net есть статья по вашему вопросу. Надеюсь, это поможет тебе.

Как вызвать api с помощью asp net

http://www.asp.net/web-api/overview/advanced/calling-a-web-api-from-a-net-client.

Вот небольшая часть из раздела POST статьи

Следующий код отправляет запрос POST, содержащий экземпляр продукта в формате JSON:

// HTTP POST
var gizmo = new Product() { Name = "Gizmo", Price = 100, Category = "Widget" };
response = await client.PostAsJsonAsync("api/products", gizmo);
if (response.IsSuccessStatusCode)
{
    // Get the URI of the created resource.
    Uri gizmoUrl = response.Headers.Location;
}

Вы могли бы сделать что-то вроде этого

HttpWebRequest req = (HttpWebRequest)WebRequest.Create("http://localhost:6740/api/Membership/exist");

req.Method = "POST";
req.ContentType = "application/x-www-form-urlencoded";         
req.ContentLength = 6;

StreamWriter streamOut = new StreamWriter(req.GetRequestStream(), System.Text.Encoding.ASCII);
streamOut.Write(strRequest);
streamOut.Close();
StreamReader streamIn = new StreamReader(req.GetResponse().GetResponseStream());
string strResponse = streamIn.ReadToEnd();
streamIn.Close();

И тогда strReponse должен содержать значения, возвращаемые вашим веб-сервисом.