Учитывая следующие 2d точки:
213 106.8
214 189
214 293.4
213 324
223 414
Я хочу найти уравнение для линии вертикальной оси наименьших квадратов, которая проходит через них. Мой план состоит в том, чтобы получить уравнение линии, чтобы я мог проверить последующие точки на их расстояния до этой линии наименьших квадратов.
Спасибо
Строго говоря, метод наименьших квадратов не определен для вертикальной линии (поскольку ошибка для каждой точки измеряется параллельно оси Y).
Однако, если вы поменяете местами X и Y, вы можете найти горизонтальную линию с наилучшим соответствием методом наименьших квадратов. Это работает просто как среднее значение координаты Y:
Уравнение для горизонтальной линии просто y = b.
Ошибка в каждой точке (xi, yi) равна (yi - b).
Сумма квадратов ошибок равна SSE = sum( (yi - b)2). Мы хотим найти значение b, которое минимизирует SSE. Возьмите частную производную SSE по b и приравняйте ее к нулю:
сумма (-2 (yi - b)) = 0
упрощение,
сумма(yi) - Nb = 0
а также
б = сумма (yi)/N
Итак, в вашем случае усреднение координат X дает вам координату X вертикальной линии, которая лучше всего соответствует вашим точкам.
Наиболее общим решением было бы применить Всего наименьших квадратов
Это находит (a, b, d), чтобы минимизировать сумму квадратов перпендикулярных расстояний (ax+by=d (a^2+b^2=1): |ax + by – d|). Это может обрабатывать вертикальные линии, такие как 0x+1y=0.
Однако это немного сложнее реализовать, поэтому решение, предложенное @Jim Lewis, может быть хорошим и более практичным.
Если вы хотите, чтобы линия наилучшего соответствия была вертикальной (т. е. x = константа), значения y не имеют значения. Просто возьмите квадратный корень из среднего значения квадратов значений x.
