Как вычислить модуль больших чисел?

Чтобы добавить к ответу Джейсона:

Вы можете ускорить процесс (что может быть полезно для очень больших показателей), используя двоичное расширение показателя степени. Сначала вычислите 5, 5 ^ 2, 5 ^ 4, 5 ^ 8 по модулю 221 — вы делаете это повторным возведением в квадрат:

 5^1 = 5(mod 221)
 5^2 = 5^2 (mod 221) = 25(mod 221)
 5^4 = (5^2)^2 = 25^2(mod 221) = 625 (mod 221) = 183(mod221)
 5^8 = (5^4)^2 = 183^2(mod 221) = 33489 (mod 221) = 118(mod 221)
5^16 = (5^8)^2 = 118^2(mod 221) = 13924 (mod 221) = 1(mod 221)
5^32 = (5^16)^2 = 1^2(mod 221) = 1(mod 221)

Теперь мы можем написать

55 = 1 + 2 + 4 + 16 + 32

so 5^55 = 5^1 * 5^2 * 5^4 * 5^16 * 5^32 
        = 5   * 25  * 625 * 1    * 1 (mod 221)
        = 125 * 625 (mod 221)
        = 125 * 183 (mod 183) - because 625 = 183 (mod 221)
        = 22875 ( mod 221)
        = 112 (mod 221)

Вы можете видеть, как для очень больших показателей это будет намного быстрее (я считаю, что это логарифм, а не линейный в b, но не уверен).

То, что вы ищете, - это модульное возведение в степень, особенно модульное двоичное возведение в степень. Эта ссылка на википедию содержит псевдокод.

китайская теорема об остатках приходит на ум в качестве начальной точки, поскольку 221 = 13 * 17. Итак, перерыв это делится на 2 части, которые в конце объединяются: одна для мода 13 и одна для мода 17. Во-вторых, я считаю, что есть некоторое доказательство того, что a^(p-1) = 1 mod p для всех ненулевых a, что также помогает уменьшите свою проблему, поскольку 5 ^ 55 становится 5 ^ 3 для случая мода 13, поскольку 13 * 4 = 52. Если вы посмотрите на тему «Конечные поля», вы можете найти хорошие результаты о том, как решить эту проблему.

РЕДАКТИРОВАТЬ: причина, по которой я упоминаю факторы, заключается в том, что это создает способ разложения нуля на ненулевые элементы, как если бы вы попробовали что-то вроде 13 ^ 2 * 17 ^ 4 по модулю 221, ответ равен нулю, поскольку 13 * 17 = 221. Многие большие числа не будут простыми, хотя есть способы найти большие простые числа, поскольку они широко используются в криптографии и других областях математики.

Это часть кода, который я сделал для проверки IBAN. Не стесняйтесь использовать.

    static void Main(string[] args)
    {
        int modulo = 97;
        string input = Reverse("100020778788920323232343433");
        int result = 0;
        int lastRowValue = 1;

        for (int i = 0; i < input.Length; i++)
        {
            // Calculating the modulus of a large number Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/International_Bank_Account_Number                                                                        
            if (i > 0)
            {
                lastRowValue = ModuloByDigits(lastRowValue, modulo);
            }
            result += lastRowValue * int.Parse(input[i].ToString());
        }
        result = result % modulo;
        Console.WriteLine(string.Format("Result: {0}", result));            
    }

    public static int ModuloByDigits(int previousValue, int modulo)
    {
        // Calculating the modulus of a large number Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/International_Bank_Account_Number                        
        return ((previousValue * 10) % modulo);
    }
    public static string Reverse(string input)
    {
        char[] arr = input.ToCharArray();
        Array.Reverse(arr);
        return new string(arr);
    }

Ответ Джейсона на Java (примечание i < exp).

private static void testModulus() {
    int bse = 5, exp = 55, mod = 221;

    int a1 = bse % mod;
    int p = 1;

    System.out.println("1. " + (p % mod) + " * " + bse + " = " + (p % mod) * bse + " mod " + mod);

    for (int i = 1; i < exp; i++) {
        p *= a1;
        System.out.println((i + 1) + ". " + (p % mod) + " * " + bse + " = " + ((p % mod) * bse) % mod + " mod " + mod);
        p = (p % mod);
    }

}

Просто предоставьте еще одну реализацию ответа Джейсона от C.

После обсуждения с моими одноклассниками, основываясь на объяснении Джейсона, мне больше нравится рекурсивная версия, если вы не очень заботитесь о производительности:

Например:

#include<stdio.h>

int mypow( int base, int pow, int mod ){
    if( pow == 0 ) return 1;
    if( pow % 2 == 0 ){
        int tmp = mypow( base, pow >> 1, mod );
        return tmp * tmp % mod;
    }
    else{
        return base * mypow( base, pow - 1, mod ) % mod;
    }
}

int main(){
    printf("%d", mypow(5,55,221));
    return 0;
}

Это называется модульным возведением в степень (https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_exponentiation). .

Предположим, у вас есть следующее выражение:

19 ^ 3 mod 7

Вместо прямого питания 19 вы можете сделать следующее:

(((19 mod 7) * 19) mod 7) * 19) mod 7

Но это также может занять много времени из-за большого количества последовательных умножений, поэтому вы можете умножать значения в квадрате:

x mod N -> x ^ 2 mod N -> x ^ 4 mod -> ... x ^ 2 |log y| mod N

Алгоритм модульного возведения в степень предполагает, что:

x ^ y == (x ^ |y/2|) ^ 2 if y is even
x ^ y == x * ((x ^ |y/2|) ^ 2) if y is odd

Итак, алгоритм рекурсивного модульного возведения в степень будет выглядеть в java так:

/**
* Modular exponentiation algorithm
* @param x Assumption: x >= 0
* @param y Assumption: y >= 0
* @param N Assumption: N > 0
* @return x ^ y mod N
*/
public static long modExp(long x, long y, long N) {
    if(y == 0)
        return 1 % N;

    long z = modExp(x, Math.abs(y/2), N);

    if(y % 2 == 0)
        return (long) ((Math.pow(z, 2)) % N);
    return (long) ((x * Math.pow(z, 2)) % N);
}

Особая благодарность @chux за обнаруженную ошибку с неправильным возвращаемым значением в случае сравнения y и 0.