Очень длинное определение PI

Нет, это не замедлит работу программы, если только вы не используете невероятно маломощный чип DSP с частотой 1 МГц, который должен выполнять арифметические операции с плавающей запятой в программном обеспечении, а не передавать их выделенному FPU. Это означало бы, что любые математические операции, использующие данные с плавающей запятой, выполняются намного медленнее, чем просто использование целочисленной арифметики.

В общем, большая точность приведет к замедлению только в том случае, если наиболее трудоемкая часть вашей программы выполняет множество вычислений в быстрой последовательности, а вычисления с плавающей запятой особенно медленны. В современных процессорах это, как правило, не так, за возможным исключением некоторых микросхем, которые вызывают 80-тактную остановку в таких вещах, как потеря значимости с плавающей запятой. Такая проблема, вероятно, выходит за рамки этого вопроса.

Во-первых, лучше использовать общее стандартное определение PI, как в стандартном заголовке C, <math.h>, где он определяется как #define M_PI 3.14159265358979323846. Если вы настаиваете, вы можете определить его вручную.

Кроме того, лучшая точность, доступная в настоящее время в C, эквивалентна примерно 19 цифрам.

Согласно Википедии, 80-битный «Intel» IEEE 754 с расширенной точностью long double, который состоит из 80 бит, дополненных до 16 байтов в памяти, имеет 64-битную мантиссу без неявного бита, что дает вам 19,26 десятичных цифр. Это был почти универсальный стандарт для длинных двойников на протяжении веков, но в последнее время все начало меняться.

Более новый 128-битный формат с четырехкратной точностью имеет 112 бит мантиссы плюс неявный бит, что дает вам 34 десятичных разряда. GCC реализует это как тип __float128, и есть (если память не изменяет) опция компилятора, чтобы установить для него long double.

Лично, если бы мне пришлось использовать наше собственное определение числа пи, я бы написал что-то вроде этого:

#ifndef M_PI
#define PI 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
#else
#define PI M_PI
#endif

Если последний стандарт C поддерживает еще более широкий тип примитивных данных с плавающей запятой, это в значительной степени гарантирует, что константы в математической библиотеке будут обновлены для поддержки этого.

Ссылки

1. Более точные типы данных с плавающей запятой, чем double?, дата обращения 13 марта 2014 г., <https://stackoverflow.com/questions/15659668/more-precise-floating-point-data-types-than-double>
2. Математическое постоянное значение PI в C, дата обращения 13 марта 2014 г., <https://stackoverflow.com/questions/9912151/math-constant-pi-value-in-c>

Количество цифр в определении макроса почти наверняка не повлияет на производительность во время выполнения.

Расширение макроса текстовое. Это означает, что если у вас есть:

#define PI 3.14159... /* 50 digits */

тогда каждый раз, когда вы ссылаетесь на PI в коде, для которого видно это определение, это будет так, как если бы вы выписали 3.14159....

C имеет только три типа с плавающей запятой: float, double и long double. Там размеры и точность определяются реализацией, но обычно они составляют 32 бита, 64 бита и что-то шире 64 бит (размер long double обычно больше варьируется от системы к системе, чем два других).

Если вы используете PI в выражении, оно будет оцениваться как значение определенного типа. И на самом деле, если литерал не имеет суффикса L, он будет типа double.

Итак, если вы пишете:

double x = PI / 2.0;

как будто вы написали:

double x = 3.14159... / 2.0;

Компилятор, вероятно, оценит деление во время компиляции, генерируя значение типа double. Любая дополнительная точность литерала будет отброшена.

Чтобы убедиться в этом, вы можете попробовать написать небольшую программу, использующую макрос PI, и изучить ассемблерный листинг.

Например:

#include <stdio.h>

#define PI 3.141592653589793238462643383279502884198716939937510582097164

int main(void) {
    double x = PI;
    printf("x = %g\n", x);
}

В моей системе x86_64 сгенерированный машинный код не имеет ссылки на значение полной точности. Инструкция, соответствующая инициализации:

movabsq $4614256656552045848, %rax

где 4614256656552045848 — это 64-битное целое число, соответствующее двоичному представлению числа двойной точности IEEE, максимально близкому к 3.141592653589793238462643383279502884198716939937510582097164.

Фактическое сохраненное значение с плавающей запятой в моей системе оказывается точно таким:

3.1415926535897931159979634685441851615905761718750000000000000000

из которых только около 16 десятичных цифр являются значимыми.