Select2 очистить кнопку «x», чтобы установить значение по умолчанию?

Используйте событие onchange. Проверьте, не является ли значение пустым, и установите для него любое предопределенное значение.

$("select").on("change", function (e) {
   if($(this).val()==""){
      $(this).val("predefined value");
   }
});

Select2 позволяет связать заполнитель с идентификатором, отличным от пустой строки.

$("select").select2({
  placeholder: {
    id: "the_predefined_value",
    text: "The placeholder text"
  }
});

Поэтому, когда вы нажимаете на «x», он устанавливает значение the_predefined_value и отображает текст заполнителя. Вам понадобится <option> с value из the_predefined_value, чтобы это работало.