Почему мой URLDownloadTask не вызывает didFinishDownloadtingTo?

Дело в том, что когда вы используете NSURLSession(URLSession в Swift 3), вам нужно выбрать, вы хотите использовать делегат или обработчик завершения, в случае использования обоих вызывается только обработчик завершения. В вашем случае delegate не установлен, поэтому вы не можете видеть вызов методов делегата. Вместо этого вы должны указать delegate, используя другой инициализатор NSURLSession, как в следующем коде:

@NSApplicationMain
class AppDelegate: NSObject, NSApplicationDelegate, URLSessionDelegate, URLSessionDownloadDelegate {

   func applicationDidFinishLaunching(_ aNotification: Notification) {
      let requestURL: URL = URL(string: "https://www.apple.com")!
      let urlRequest: URLRequest = URLRequest(url: requestURL as URL)

      let config = URLSessionConfiguration.default
      let session = URLSession(configuration: config, delegate: self, delegateQueue: OperationQueue.main)

      let downloads = session.downloadTask(with: urlRequest)

      print("starting download...")
      downloads.resume()
   }

   func applicationWillTerminate(_ aNotification: Notification) {
      // Insert code here to tear down your application
   }

   func urlSession(_ session: URLSession, downloadTask: URLSessionDownloadTask, didFinishDownloadingTo location: URL){
       print("download finished!")
   }   
}

И тогда вы должны увидеть, что метод делегата вызывается правильно.

Я надеюсь, что это поможет вам

Ключ заключается в слове «делегат». Это как ночная собака в сказке о Шерлоке Холмсе. Ночью собака ничего не делала. Слово «делегат» никогда не появляется в вашем коде!

Но это необходимо. didFinishDownloadingTo – это метод делегата. Вы можете получить этот метод только в том случае, если вы являетесь делегатом сеанса NSURLSession. Вам нужно установить self как его delegate. Среда выполнения не читает ваши мысли волшебным образом и не знает, что вы намереваетесь использовать этот объект в качестве делегата; вы должны рассказать об этом.