Неправильный результат при выполнении простой интеграции Монте-Карло в R

Я делаю часть презентации по численному интегрированию. В то время как сам разговор пойдет о более совершенных формах численного интегрирования (в основном выборка по важности и стратифицированная выборка), я упоминаю в части своего раздела выборку интегрирования Монте-Карло из равномерного распределения.

Я обнаружил, что:

mean(sin(runif(1e8, 0, pi)))

дает ответ 0.636597, а не 1, как ожидается. Этот ответ кажется довольно согласующимся с увеличением размера выборки, и я не уверен, почему так много ошибок. Другие вычисления, такие как:

mean(sin(runif(1e6, 0, 2 * pi)))

дайте 0.0005398996, что гораздо ближе к ожидаемому ответу 0.

Может ли кто-нибудь помочь мне понять, почему

mean(sin(runif(1e8, 0, pi)))

дает такой неточный ответ? Является ли это ошибкой пользователя или ее следует ожидать при выборке из равномерного распределения?


r montecarlo integral numerical-integration
person Mark    schedule 05.12.2016    source источник
comment
@ZheyuanLi Написав вам ответ, я понял, что забыл умножить результат на длину интервала, который не будет обнаружен, когда ожидается, что интеграл будет равен 0. Спасибо!   -  person Mark    schedule 05.12.2016

Ответы (1)


arrow_upward
4
arrow_downward

Я вернулся, чтобы сделать свой ответ полным, на случай, если будущим читателям понадобится знать логику. Обратите внимание, что истинное значение равно 2, а не 1, как указано в вашем вопросе.

Истинное значение

Монте-Карло

Итак, вы только что вычислили средние значения функции на выборках, но забыли умножить длину интервала.

set.seed(0); pi * mean(sin(runif(1000, 0, pi)))
# [1] 2.001918

это то, что вам нужно.

Детерминированное представление этого результата — теорема о среднем значении для интеграла, или Аппроксимация интеграла суммой Римана.

Риман

Так что мы также можем сделать

pi * mean(sin(seq(0, pi, length = 1000)))
# [1] 1.997998

Интеграция по методу Монте-Карло более полезна при использовании выборки по важности. Прочитайте интеграцию Монте-Карло с использованием выборки важности с учетом функции предложения в качестве хорошего примера.

person Zheyuan Li    schedule 05.12.2016
comment
Ранее я упоминал различные гауссовые квадратурные методы, поэтому их недетерминированность важна для перехода между этим и более сложными методами Монте-Карло. Скорость/точность этого кода вообще не важны (и неточность для малых n может быть даже хороша, так как она покажет, почему необходимо улучшить равномерную выборку). - person Mark; 05.12.2016