Определители огромных матриц в MATLAB

Если скорость не имеет значения, вы можете использовать det(e^A) = e^(tr A) и взять в качестве A некоторую константу масштабирования, умноженную на вашу матрицу (так, чтобы A - I имел спектральный радиус меньше единицы).

РЕДАКТИРОВАТЬ: В MatLab журнал матрицы (logm) вычисляется с помощью тригонализации. Поэтому вам лучше вычислить собственные значения вашей матрицы и умножить их (или лучше добавить их логарифм). Вы не указали, была ли ваша матрица симметричной или нет: если это так, найти собственные значения проще, чем если это не так.

Вы должны понимать, что когда вы умножаете матрицу на константу k, вы масштабируете определитель матрицы на k^n, где n — размерность матрицы. Итак, для n = 1000 и k = 2 вы масштабируете определитель на

>> 2^1000
ans =
     1.07150860718627e+301

Это, конечно, огромное число, поэтому вы можете ожидать, что оно должно потерпеть неудачу, поскольку в двойной точности MATLAB будет представлять только числа с плавающей запятой размером с realmax.

>> realmax
ans =
     1.79769313486232e+308

Нет необходимости выполнять всю работу по перевычислению этого определителя, не то чтобы вычисление определителя такой огромной матрицы в любом случае является ужасно хорошо поставленной задачей.

Вы сказали, что текущее значение определителя составляет около 10^-300.

Вы пытаетесь получить определитель с определенным значением, скажем, 1? Если это так, масштабирование неудобно: рассматриваемая вами матрица плохо обусловлена, и, учитывая точность машины, вы должны считать выходной определитель равным нулю. Другими словами, невозможно получить надежную обратную.

Я бы предложил изменить столбцы или строки матрицы, а не масштабировать ее.

Я использовал R, чтобы сделать небольшой тест со случайной матрицей (случайные нормальные значения), кажется, что определитель должен быть явно ненулевым.

> n=100
> M=matrix(rnorm(n**2),n,n)
> det(M)
[1] -1.977380e+77
> kappa(M)
[1] 2318.188

Это не строго решение для Matlab, но вы можете рассмотреть возможность использования Mahout. Он специально разработан для крупномасштабной линейной алгебры. (1000x1000 не проблема для масштабов, к которым он привык.)

Вы должны вызвать java для передачи данных в/из Махаута.