Представление FOL на английском языке

У меня есть следующая формула ФОЛ: ∀e(S(e)) → ∃d(P(d))

И словарный запас:
variables: e:'exam', d:'day' functions: S:'successful', P:'party'

Сначала я перевел эту формулу на:
For every successful exam, there will be a day of party

Хотя, видимо, правильным переводом было бы что-то вроде:
You party at least one day after all exams were successful.

Почему правильный говорит, что мы празднуем только после того, как ВСЕ экзамены будут успешными?

Означает ли ∀e(S(e)): "Все экзамены будут успешными"? А ∃d(P(d)) означает: "есть хотя бы один день, когда мы празднуем"?

И разве смысл не переводится как «если а, то б»?

Я думаю, что каким-то образом вижу логику правильного перевода, но есть что-то в подтексте, что заставляет меня сомневаться...


logic first-order-logic
person user452306    schedule 25.01.2018    source источник

Ответы (1)


arrow_upward
3
arrow_downward

Осторожнее здесь. Эта формула:

∀e(S(e)) → ∃d(P(d))

На самом деле имеет только один точный смысл, тот, который вы признаете верным:

Если все экзамены будут успешными, то будет вечеринка.

Ваш перевод неверен по тонкой, но важной причине. Ваш перевод:

Для каждого успешного экзамена будет день вечеринки

Соответствует этой формуле:

∀e.∃d(S(e) → P(d))

Эти формулы логически не эквивалентны, то есть следующее не является тавтологией:

(∀e(S(e)) → ∃d(P(d))) <=> (∀e.∃d(S(e) → P(d)))

Чтобы убедиться в этом, представьте, что произойдет, если вы сдадите десять экзаменов и провалите один экзамен. Первоначальная формула бессодержательно верна независимо от того, была ли какая-либо вечеринка, поскольку ∀e(S(e)) не выполняется. Однако ваше утверждение верно только в том случае, если у вас есть хотя бы одна партия, так как вы все-таки сдали хотя бы один экзамен.

person Patrick87    schedule 25.01.2018
comment
Спасибо за этот подробный ответ; Однако я понимаю тонкую разницу, но НЕ то, что представляет ее в самой формуле. Почему эта первоначальная формула означает, что партия будет только, если мы сдадим все экзамены? Я, должно быть, упускаю какое-то базовое понимание квантификаторов или последствия, которые я думаю? - person user452306; 25.01.2018
comment
@user452306 user452306 Исходная формула не означает, что вечеринка состоится только в том случае, если все экзамены сданы. Вы все еще можете устроить вечеринку, если провалите все экзамены, и первая формула останется верной. Это означает, что вам не нужно будет устраивать вечеринку, пока не будут сданы все экзамены. Ваш перевод означает, что в случае сдачи любого экзамена должна быть вечеринка; в оригинале говорится, что он должен быть, если вы прошли все. Разница сводится к объему: в первом экзистенция полностью отделена от форалла, тогда как во втором экзистенция связана с объемом форалла. - person Patrick87; 25.01.2018
comment
О, так глядя на таблицу истинности импликации; функция S(e) будет истинной, только если сданы все экзамены; и в этом случае должна существовать по крайней мере сторона, чтобы формула была правильной. Но, если экзамены сданы от 0 до всех-1, может или не может состояться партия (верная или ложная) для того, чтобы формула была правильной? А что касается масштаба, правильно ли я понимаю, что если существование связано с фораллом, то это означает, что в любое время любой из экзаменов сдается, то есть как минимум 1 партия? - person user452306; 25.01.2018
comment
@user452306 user452306 По первому пункту да. Что касается второй части, я думаю, что это более или менее безопасно обобщать: для всех x существует y такой, что f(x, y) действительно означает, что должен существовать по крайней мере один y при условии, что существует хотя бы какой-то x (учитывайте, что если экзаменов нет, первая формула гарантирует вечеринку, а вторая нет). Также может помочь полное заключение в скобки: это поможет вам увидеть, что e никогда не появляется свободным ни в одной из подформул первой формулы, но появляется свободным в подформуле, которая связывает только d. - person Patrick87; 25.01.2018