Докажите, что время работы оптимизированной сортировки слиянием равно тета (NK + Nlog (N/K))?

Хорошо, я знаю, что Mergesort имеет наихудшее время тета (NlogN), но его накладные расходы высоки и проявляются в нижней части дерева рекурсии, где выполняются слияния. Кто-то предложил остановить рекурсию, как только размер достигнет K, и в этот момент переключиться на сортировку вставками. Мне нужно доказать, что время работы этого модифицированного рекуррентного соотношения равно тета (NK + Nlog (N/k))? Я не знаю, как подойти к этой проблеме.


java performance recurrence mergesort
person Community    schedule 31.01.2011    source источник

Ответы (1)


arrow_upward
3
arrow_downward

Возможно, хорошим началом будет рассмотрение рекуррентного соотношения для этой задачи. Я предполагаю, что для типичной сортировки слиянием это будет выглядеть примерно так:

T(N) = 2 * T(N / 2) + N

то есть вы делите проблему на 2 подзадачи половинного размера, а затем выполняете N работы (слияние). У нас есть базовый случай, который занимает постоянное время.

Моделируя это как дерево, мы имеем:

T(N)   =   N   ->   T(N / 2)   
               ->   T(N / 2)

       =   N   ->   (N / 2)   ->   T(N / 4)
                              ->   T(N / 4)
               ->   (N / 2)   ->   T(N / 4)
                              ->   T(N / 4)

Это дает расширение

T(N) = N + 2N/2 + 4N/4 + ...
     = N + N + N ...

Так что на самом деле нам просто нужно увидеть, насколько глубоко это идет. Мы знаем, что i уровень оперирует подзадачами N / 2^i размера. Таким образом, наши конечные узлы (T(1)) находятся на уровне L, где N / 2^L = 1:

N / 2^L = 1
N = 2^L
log N = log(2^L)
log N = L

Итак, наше время выполнения N log N.

Теперь введем сортировку вставками. Наше дерево будет выглядеть примерно так

T(N) = ... -> I(K)
           -> I(K)
             ...x N/K

Другими словами, нам придется на каком-то уровне L решить N/K задач сортировки вставками размера K. Сортировка вставками имеет наихудшее время выполнения K^2. Таким образом, на листьях у нас всего много работы:

(N / K) * I(K)
= (N / K) * K * K
= N * K

Но у нас также есть куча слияний, стоимость которых составляет N за уровень дерева, как объяснялось ранее. Возвращаясь к нашему предыдущему методу, давайте найдем L (количество уровней, прежде чем мы достигнем подзадач размера K и, таким образом, переключимся на вставку):

N / 2^L = K
N / K = 2^L
L = log (N/K)

Итак, в сумме имеем

O(N) = N * K + N * log (N/K)

Прошло слишком много времени с тех пор, как я использовал алгоритмы, чтобы дать вам набросок доказательства, но это должно заставить ваши нейроны активироваться.

person Mark Peters    schedule 31.01.2011