Реализация Рунге-Кутты для системы двух дифференциальных уравнений

У меня есть следующая система дифференциальных уравнений:

И согласно бумаге, они сказали, что я могу решить это численно, используя РК 4-го порядка.

Как видите, два последних уравнения связаны, и я построил матрицу (Вероятность), которая связывает xn и yn, где n = 1 .. (N- количество пар, например, здесь N равно 4): vector ([ x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn]) '= Probability.dot (vector ([x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn] )), где штрих - дифференцирование по времени. Но, с другой стороны, для каждого шага у меня есть дополнительный член суммы (un * xn и то же самое для yn), это была первая проблема, с которой я столкнулся и не знал, как с ней справиться.

Я написал код и возникло много ошибок, с которыми я не справился.

Пока я пытаюсь справиться с этим самостоятельно, буду очень благодарен за любую помощь в этом.

Выше показан мой код:

Импорт библиотек

import numpy as np
import math
import scipy.constants as sc
from scipy.sparse import diags
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import mlab

Исходные данные и константы

dimen_paramT0 = [0,0,0,0]
step = 0.00001

Mn = 1e-21      # mass of pairs
thau = 1e-15    # character time
wn_sqr = 1e-2   # to 10e-6 
wn_prime = 3e-2 # to 10e-5

n = 4 #count of repetition; forinstance 4
gamma_n = 3e-9 
Dn = 4e-2 
an = 4.45
alphaPrime_n = 0.13
Volt = 0.4
hn = 0
hn_nInc = 1.276 #hn,n+1
hn_nDec = 1.276 #hn,n-1
Un = thau * alphaPrime_n / Mn
ksi_n = an * Un
Omega_n = 2 * Dn * an * (thau ** 2) / (Mn * Un)

* Построение матрицы для ассоциаций с diff / eq / для вероятности *

k = np.array([hn_nInc*np.ones(n-1),hn*np.ones(n),hn_nDec*np.ones(n-1)])
offset = [-1,0,1]
Probability = diags(k,offset).toarray() # bn(tk)=xn(tk)+iyn(tk)


xt0_list = [0] * n
yt0_list = [0] * n

* Правая сторона разн. экв. *

# dimen_param = [un,vn,zn,vzn] [tn]
# x_list = [x1,...,xn] [tn]
# y_list = [y1,...,yn] [tn]

def fun(dimen_param, x_list, y_list):
    return dimen_param[1]

def fvn(dimen_param, x_list, y_list):
    return -(x_list[len(x_list)-1]**2 + y_list[len(y_list)-1]**2)- wn_prime*dimen_param[1] + Omega_n * (1-np.e ** (-ksi_n * dimen_param[0]))*np.e ** (-ksi_n * dimen_param[0])

def fzn(dimen_param, x_list, y_list):
    return dimen_param[3]

def fvzn(dimen_param, x_list, y_list):
    return -wn_prime * dimen_param[3]-(wn_sqr ** 2) * dimen_param[2] - 1

def fxn(dimen_param, x_list, y_list):
    return Probability.dot(y_list)

def fyn(dimen_param, x_list, y_list):
    return -Probability.dot(x_list)

#xv = [dimen_param, x_list, y_list]
def f(xv):

    k_d = xv[0:4]
    k_x = xv[4:4+len(xt0_list)]
    k_y = xv[4+len(xt0_list):4+len(xt0_list)+len(yt0_list)]

    return ([fun(k_d, k_x, k_y),fvn(k_d, k_x, k_y),fzn(k_d, k_x, k_y),fvzn(k_d, k_x, k_y),fxn(k_d, k_x, k_y),fyn(k_d, k_x, k_y)])

* Реализация метода Рунге - Кутта 4-го порядка *

def RK4(f, dimen_paramT0, xt0_list, yt0_list):
    T = np.linspace(0, 1. / step, 1. / step +1)
    xvinit = np.concatenate([dimen_paramT0, xt0_list, yt0_list])
    xv = np.zeros( (len(T), len(xvinit)) )
    xv[0] = xvinit

    for i in range(int(1. / step)):
        k1 = f(xv[i])
        k2 = f(xv[i] + step/2.0*k1)
        k3 = f(xv[i] + step/2.0*k2)
        k4 = f(xv[i] + step*k3)
        xv[i+1] = xv[i] + step/6.0 *( k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
    return T, xv

* Бег *

print RK4(f, dimen_paramT0, xt0_list, yt0_list)

Проблема на данный момент:

---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-104-be8ed2e50d37> in <module>()
----> 1 RK4(f, dimen_paramT0, xt0_list, yt0_list)

<ipython-input-103-8c48cf5efe73> in RK4(f, dimen_paramT0, xt0_list, yt0_list)
      7     for i in range(int(1. / step)):
      8         k1 = f(xv[i])
----> 9         k2 = f(xv[i] + step/2.0*k1)
     10         k3 = f(xv[i] + step/2.0*k2)
     11         k4 = f(xv[i] + step*k3)

TypeError: can't multiply sequence by non-int of type 'float'