Аппроксимация бесконечной суммы в R

Нахождение бесконечной суммы значений функции равносильно интегрированию этой функции на том же интервале. Вы можете использовать функцию integrate():

#Define the function
f <- function(x){ 1/(x**2)}

# First check on a segment
lower = 0.5
upper = 2
sum(f(seq(lower, upper, by=0.0001)))
# [1] 15002.13

# Integrate
integrate(f, lower, upper)
# 1.5 with absolute error < 3.8e-09

# For upper boundary to be infinity:
lower = 0.5
upper = Inf
integrate(f, lower, upper)
# 2 with absolute error < 8.4e-11

Если интегрирование происходит по целочисленным значениям, вы можете попытаться аппроксимировать верхнюю границу и вычислить (хотя для некоторых функций это может быть очень медленным):

sum(f(1:(2^25)))
# [1] 1.644934

sum(f(1:(2^26))) # Check how much the value changes for even longer vector
# [1] 1.644934

Добавлено после того, как к вопросу было добавлено определение функции: Несколько замечаний об этой конкретной функции:

f(n) = exp(an + b*sqrt(n) - ln(n!))

В этой функции есть член ln(n!), который R будет очень трудно оценить, так как ему нужно будет вычислить N! на очень большое количество. Таким образом, лучший подход для этого конкретного случая — найти верхнюю и нижнюю граничные функции и использовать их для аппроксимации.