Какой инвариант я пропустил в доказательстве BubbleSort?

Думаю, мне могут понадобиться дополнительные инварианты, чтобы убедить Дафни в том, что код работает. Я пробовал несколько, но не смог пройти.

method BubbleSort(arr: array<int>)
    ensures forall k, k' :: 0 <= k < k' < arr.Length ==> arr[k] <= arr[k']
    modifies arr
{
    var i := arr.Length;
    while i > 0
        invariant 0 <= i <= arr.Length
        // Violating the invariant next line
        invariant forall k, k' :: i <= k < k' < arr.Length ==> arr[k] <= arr[k']
        decreases i
    {
        var j := 0;
        while j < i - 1
            invariant 0 <= j < i
            invariant forall k :: 0 <= k < j ==> arr[j] >= arr[k]
            decreases i - j
        {
            if arr[j] > arr[j+1] {
                arr[j], arr[j+1] := arr[j+1], arr[j];
            }
            j := j + 1;
        }
        i := i - 1;
    }
}

dafny
person czheo    schedule 16.02.2019    source источник

Ответы (2)


arrow_upward
2
arrow_downward

Инвариант sorted(a, i, a. Length -1) должен сохраняться при уменьшении i. Инвариант partioned(a, i) гарантирует это, поскольку подразумевает, что a[i-1] ‹= a[i]. Причина того, что он сильнее этого, заключается в том, что иначе его инвариантность нельзя было бы доказать.

Примечание: partitioned(a, i) говорит, что a[k] ‹= a[l] для всех k ‹= i и i ‹ l .

person Kees Huizing    schedule 30.04.2019

arrow_upward
1
arrow_downward

Среди этих заметок я нашел этот пример проверенной пузырьковой сортировки.

https://www.cs.cmu.edu/~mfredrik/15414/lectures/17-notes.pdf

predicate sorted ( a : array <int > , l : int , u : int)
reads a
{
 forall i , j :: 0 <= l <= i <= j <= u < a . Length ==> a [ i ] <= a [ j ]
}

predicate partitioned ( a : array <int > , i : int)
reads a
{
forall k , k' :: 0 <= k <= i < k' < a . Length ==> a [ k ] <= a [k']
}

method BubbleSort(a: array<int>) returns (b: array<int>)
requires a.Length!=0
modifies a
ensures sorted(a,0,a.Length-1)
{
  var i:=0;
  var j:=0;
  var temp:=0;
  var n:=a.Length;
  i:=n-1;
  b:=a;
  while i>0
  invariant i<0 ==> a.Length==0
  invariant -1<=i<n
  invariant sorted (a , i , a . Length -1)
  invariant partitioned(a,i)
  { 
   j:=0; 
   while j<i
   invariant 0<=j<=i
   invariant 0<=i<n
   invariant sorted(a , i , a . Length -1)
   invariant forall k :: 0 <= k <j ==> a[j] >= a[k]
   invariant partitioned(a,i)
   { if a[j]>a[j+1]
     {
       temp:=a[j];
       a[j]:=a[j+1];
       a[j+1]:=temp; 
     }
     j:=j+1; 
   }
   i:=i-1;
  }
  b:=a;

}
person Rahul Titus George    schedule 22.02.2019
comment
Вы знаете, зачем нужен partitioned? - person czheo; 23.02.2019
comment
Я думаю, чтобы полностью зафиксировать тот факт, что наибольшее число всплывает на каждой итерации. Как именно? Я не знаю, я мог придумать только отсортированный инвариант, и я застрял там. - person Rahul Titus George; 23.02.2019