Возможный бесконечный цикл в математическом уравнении?

У меня возникла следующая проблема, и я не могу понять часть уравнения:

Методы Монте-Карло для оценки интеграла в основном берут множество случайных выборок и определяют средневзвешенное значение. Например, интеграл от f (x) можно оценить из N независимых случайных выборок x r с помощью

http://www.goftam.com/images/area.gif

для равномерного распределения вероятностей xr в диапазоне [x1, x2]. Поскольку каждая оценка функции f (xr) независима, эту работу легко распределить по набору процессов.

Я не понимаю, что должен делать f (x r)? Связано ли это с тем же уравнением? Разве это не был бы бесконечный цикл?


math montecarlo simulation
person kylex    schedule 26.02.2009    source источник

Ответы (5)


arrow_upward
7
arrow_downward

Ваша цель - вычислить интеграл f от x1 до x2. Например, вы можете вычислить интеграл sin(x) от 0 до pi.

Используя интегрирование по методу Монте-Карло, вы можете аппроксимировать это, выбирая случайные точки в интервале [x1,x2] и оценивая f в этих точках. Возможно, вы хотите назвать это MonteCarloIntegrate( f, x1, x2 ).

Так что нет, MonteCarloIntegrate не «откликается» на себя. Он вызывает функцию f, функцию, которую вы пытаетесь интегрировать численно, например sin.

person A. Rex    schedule 26.02.2009
comment
Спасибо, это то, что я искал. - person kylex; 26.02.2009
comment
@Mitch Wheat: и +1 для вас. знак равно - person A. Rex; 26.02.2009

arrow_upward
11
arrow_downward

Он должен сказать f (x i)

f () - это функция, которую мы пытаемся интегрировать с помощью численного метода Монте-Карло, который оценивает интеграл (и его ошибку) путем оценки случайно выбранных точек из области интегрирования.

Ссылка.

person Mitch Wheat    schedule 26.02.2009
comment
Я бы предпочел изменить индекс суммирования на r, а пределы интегрирования на a и b. Таким образом, не будет путаницы с x_i. - person Zach Scrivena; 26.02.2009
comment
x_i - довольно стандартное обозначение. - person Mitch Wheat; 26.02.2009
comment
В любом случае это плохая запись, потому что x1 и x2 - пределы вашего интеграла. Вы хотите, чтобы xi или xr, в зависимости от того, что вы предпочитаете, случайным образом распределялись в [x1, x2]. - person A. Rex; 26.02.2009
comment
Я не согласен с тем, что это плохая нотация. Как и многие другие вещи в математике, здесь используются общепринятые формы. Мне x_i кажется очень естественным - person Mitch Wheat; 26.02.2009
comment
Относительно обозначения: xi само по себе является прекрасным обозначением и, очевидно, принимается во всей математике. Суммирование ведется по i от 1 до N, что означает, что оно также включает i = 1 и i = 2. Это означает, что часть вашей суммы - это f (x1) и f (x2), которые являются значением вашей функции в конечных точках. Вы можете этого не хотеть. - person A. Rex; 26.02.2009
comment
Должно быть x_r_i, поскольку x_1 и x_2 являются конечными точками интеграции. - person jason; 26.02.2009
comment
По поводу отрицательного голоса: я колебался взад и вперед по поводу того, стоит ли мне -1. Причина, по которой я этого не хотел, заключается в том, что вы явно пытаетесь быть полезным, а -1 неверно. Однако ваш первоначальный ответ (что это должно быть f (xi)) не отвечал на вопрос, но каким-то образом получил 2 голоса. - person A. Rex; 26.02.2009
comment
Продолжение: затем, в течение пяти минут, вы отредактировали, чтобы включить ответ на фактический вопрос (но этого никто не может сказать). Я подумал, что это симптом самого быстрого оружия на западе, и решил уравновесить это -1. Как я уже сказал, я забрал его, но надеюсь, вы понимаете. - person A. Rex; 26.02.2009
comment
@A. Рекс: Я не понимаю, что ты имеешь в виду? Я редактировал несколько раз, но я паршивая машинистка. извините за любую догадку - person Mitch Wheat; 26.02.2009
comment
@Mitch Wheat: использование x_i здесь неверно, поскольку конечные точки помечены как x_1 и x_2. Таким образом, требуется другое обозначение случайно выбранных точек. - person jason; 26.02.2009
comment
@Mitch Wheat: Короче говоря, вот последовательность событий: 1. Вы отвечаете, говоря, что это должно быть x_i, что не дает удаленного ответа на вопрос. 2. Собственно отвечаю на вопрос. 3. Вы редактируете свой ответ, чтобы фактически ответить на вопрос. 4. Вы получаете много голосов. - person A. Rex; 26.02.2009
comment
@ Митч Уит: Это правда. Кстати, не поймите меня неправильно: я думаю, вы отличный пользователь SO. Без обид. знак равно - person A. Rex; 26.02.2009
comment
@A Rex & Mitch Wheat: Приятно видеть, что вы двое пришли к полюбовному выводу по этому поводу. Это дает мне надежду на весь остальной мир. - person e.James; 26.02.2009

arrow_upward
1
arrow_downward

Заменить f(x_r) на f(x_r_i) (читать: f оценивается в x sub r sub i). r_i выбираются равномерно случайным образом из интервала [x_1, x_2].

Дело в следующем: площадь под f на [x_1, x_2] равна (x_2 - x_1) разному среднему f на интервале [x_1, x_2]. То есть

A = (x_2 - x_1) * [(1 / (x_2 - x_1)) * int_{x_1}^{x_2} f(x)\, dx]

Часть в квадратных скобках - это среднее значение f на [x_1, x_2], которое мы обозначим avg(f). Как мы можем оценить среднее значение f? Путем отбора проб в N случайных точках и взятия среднего значения f, оцененного в этих случайных точках. А именно:

avg(f) ~ (1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i)

где x_r_1, x_r_2, ..., x_r_N - точки, выбранные равномерно случайным образом из [x_1, x_2].

потом

A = (x_2 - x_1) * avg(f) ~ (x_2 - x_1) * (1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i).

Вот еще один способ подумать об этом уравнении: площадь под f на интервале [x_1, x_2] такая же, как площадь прямоугольника с длиной (x_2 - x_1) и высотой, равной средней высоте f. Средняя высота f составляет примерно

(1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i)

это ценность, которую мы создали ранее.

person jason    schedule 26.02.2009

arrow_upward
0
arrow_downward

Неважно, x i или x r - это случайное число, которое мы вводим в функцию f ().

Я, скорее всего, напишу функцию (помимо форматирования) следующим образом:

(x 2 -x 1) * сумма (f (x i)) / N

Таким образом, мы можем видеть, что мы берем среднее значение из N выборок f (x), чтобы получить среднюю высоту функции, а затем умножаем ее на ширину (x2-x1).

Потому что, в конце концов, интегрирование - это просто вычисление площади под кривой. (Хорошие картинки на http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/integ.html#c4.

person J.T. Grimes    schedule 26.02.2009

arrow_upward
0
arrow_downward

x_r - случайное значение из диапазона интеграла.

Подстановка Random (x_1, x_2) вместо x_r даст эквивалентное уравнение.

person Craig Gidney    schedule 26.02.2009