У меня есть матрица 8 на 8 в Sympy. Инвертирование всей матрицы занимает слишком много времени, поскольку символьное выражение для каждой ячейки в матрице в моем случае довольно сложное. Кроме того, меня интересует только значение обратной матрицы для одной ячейки (первая строка и первый столбец). Есть ли способ вычислить обратное только в одном месте вместо вычисления значения во всех 64 местах матрицы?
Спасибо!
Общая формула для обратной вычисляется из транспонированной матрицы кофакторов и определителя, поэтому
In [8]: M = Matrix([[1, 4, 7], [3, 0, 5], [-1, 9, 11]])
In [9]: M
Out[9]:
⎡1 4 7 ⎤
⎢ ⎥
⎢3 0 5 ⎥
⎢ ⎥
⎣-1 9 11⎦
In [10]: M.inv()
Out[10]:
⎡45/8 -19/8 -5/2⎤
⎢ ⎥
⎢19/4 -9/4 -2 ⎥
⎢ ⎥
⎣-27/8 13/8 3/2 ⎦
In [11]: M.cofactor(0, 0) / M.det()
Out[11]: 45/8
Это требует вычисления двух определителей: одного для всей матрицы и одного для кофактора. В терминах большого O это O(n**3) (то же самое, что и инверсия), но это может быть быстрее, чем вычисление инверсии.
Если проблема в выражении, то я думаю, что использование кофактора и определителя не поможет, поскольку вычисления определителя все равно будут медленными. В этом случае вам нужно привести пример выражения, демонстрирующий проблему.
n x n определитель содержит n! термины. 8! равно 40320. Таким образом, если ваша матрица не имеет каких-либо симметрий или, в идеале, много нулевых элементов, символический определитель и, следовательно, символическая инверсия будут большими выражениями. Возможно, что кофактор и определитель могут компенсировать друг друга, чтобы получить более простое выражение (после вызова cancel).
- person asmeurer; 19.12.2019
