Выборка двух случайных величин равномерно в области, где сумма больше нуля

Вам просто нужно убедиться, что плотность x точек отходит от верхнего левого угла соответствующим образом. Я бы также предложил сгенерировать в [0,1], а затем преобразовать в [-1,1].

Например:

import numpy as np

# generate points, sqrt takes care of moving points away from zero
n = 50000
x = np.sqrt(np.random.uniform(size=n))
y = np.random.uniform(1-x)

# transform to -1,1
x = x * 2 - 1
y = y * 2 - 1

их построение дает:

что мне кажется разумным. Обратите внимание, что я раскрасил квадрат [-1,1], чтобы показать, где он должен располагаться.

Could you please elaborate a bit on how you arrived at the answer?

Что ж, основная проблема состоит в том, чтобы получить честный способ выборки неравномерного распределения координаты X.

Из элементарной геометрии площадь части верхнего треугольника с x ‹ x₀ равна: (1/2) * (x₀ + 1)² . Поскольку общая площадь этого верхнего треугольника равна 2, отсюда следует, что кумулятивная вероятность P (X ‹ x₀) внутри верхнего треугольника равна: P = (1/4) * (x ₀ + 1)².

Итак, инвертируя последнюю формулу, мы имеем: x₀ = 2*sqrt(P) - 1

Теперь из теоремы выборки с обратным преобразованием мы знаем, что можем сгенерировать справедливое выборка X путем переинтерпретации P как случайной величины U₀, равномерно распределенной между 0 и 1.

В Python это дает нам:

    u0 = random.uniform(0.0, 1.0)
    x = (2*math.sqrt(u0)) - 1.0

или эквивалентно:

    u0 = random.random()
    x  = (2 * math.sqrt(u0)) - 1.0

Обратите внимание, что это по сути та же математика, что и в отличном ответе @SamMason. Это происходит из общего статистического принципа. Его также можно использовать для доказательства того, что правильная выборка широты на трехмерной сфере задается arcsin(2*u - 1).

Итак, теперь у нас есть x, но нам все еще нужен y. Базовая двумерная плотность является однородной, поэтому для данного x все возможные значения y равнораспределены.

Интервал возможных значений y равен [-x, 1]. Итак, если U₁ — еще одна независимая случайная величина, равномерно распределенная между 0 и 1, y можно получить из уравнения:

у = (1+х) * и₁ - х

который в Python отображается:

    u1 = random.random()
    y  = (1+x)*u1 - x

В целом код Python можно записать так:

import  math
import  random
import  matplotlib.pyplot  as  plt

def mySampler():
    u0 = random.random()
    u1 = random.random()
    x  = 2*math.sqrt(u0) - 1.0
    y  = (1+x)*u1 - x
    return (x,y)

#--- Main program:

points = (mySampler()  for _ in range(10000))  # an iterator object

xx, yy = zip(*points)

plt.scatter(xx, yy, s=0.2)
plt.show()

Графически результат выглядит достаточно хорошо:

Side note: a cheaper, ad hoc solution:

Всегда есть возможность выборки равномерно по всему квадрату и отклонения точек, сумма x+y которых оказывается отрицательной. Но это немного расточительно. Мы можем найти более элегантное решение, заметив, что «плохая» область имеет ту же форму и площадь, что и «хорошая» область.

Поэтому, если мы получим «плохую» точку, вместо того, чтобы просто отклонить ее, мы можем заменить ее точкой, симметричной относительно разделительной линии x+y=0. Это можно сделать с помощью следующего кода Python:

def mySampler2():
    x0 = random.uniform(-1.0, 1.0)
    y0 = random.uniform(-1.0, 1.0)
    s  = x0+y0
    if (s >= 0):
      return (x0, y0)       # good point
    else:
      return (x0-s, y0-s)   # symmetric of bad point

Это тоже отлично работает. И это, наверное, самое дешевое решение с точки зрения процессорного времени, так как мы ничего не отбрасываем и нам не нужно вычислять квадратный корень.

После Создание случайных местоположений в треугольном домене

Код для равномерной выборки в любом треугольнике, Python 3.9.4, Win 10 x64

import math
import random

import matplotlib.pyplot as plt

def trisample(A, B, C):
    """
    Given three vertices A, B, C,
    sample point uniformly in the triangle
    """
    r1 = random.random()
    r2 = random.random()

    s1 = math.sqrt(r1)

    x = A[0] * (1.0 - s1) + B[0] * (1.0 - r2) * s1 + C[0] * r2 * s1
    y = A[1] * (1.0 - s1) + B[1] * (1.0 - r2) * s1 + C[1] * r2 * s1

    return (x, y)

random.seed(312345)
A = (1, 0)
B = (1, 1)
C = (0, 1)
points = [trisample(A, B, C) for _ in range(10000)]

xx, yy = zip(*points)
plt.scatter(xx, yy, s=0.2)
plt.show()