Сколько различных чисел с плавающей запятой в определенном диапазоне?

Для поплавков IEEE754 это довольно просто. Запустите онлайн-калькулятор с плавающей запятой и продолжайте читать.

Все чистые степени двойки представлены мантиссой 0, которая на самом деле 1.0 из-за подразумеваемого ведущего 1. Показатель корректируется смещением, поэтому 1 и 0,5 равны соответственно 1,0 2 ⁰ и 1,0 2 ¹ или в двоичном виде:

      S    Ex + 127    Mantissa - 1                Hex

1:    0    01111111    00000000000000000000000     0x3F800000
      +     0 + 127    1.0

0.5:  0    01111110    00000000000000000000000     0x3F000000
      +    -1 + 127    1.0

Поскольку числа с плавающей запятой, представленные в этой форме, упорядочены в том же порядке, что и их двоичное представление, нам нужно только взять разность целого значения двоичного представления и сделать вывод, что существует 0x800000 = 2 ^{23 , т.е. 8 388 608 значений с плавающей запятой одинарной точности в интервале [0,5, 1,0).}

Точно так же ответ: 2 ⁵² для double и 2 ⁶³ для long double.

Число с плавающей запятой в формате IEEE754 находится в диапазоне от 0,0 (включительно) до 0,5 (исключая) тогда и только тогда, когда бит знака равен 0, а показатель степени равен < -1. Биты мантиссы могут быть произвольными. Для float это делает допустимым показателем 2^23 чисел для double 2 ^ 52. Сколько существует допустимых показателей степени? Для float минимальный показатель степени для нормализованных чисел составляет -126, для double это -1022, поэтому есть

126*2^23 = 1056964608

float значения в [0, 0.5) и

1022*2^52 = 4602678819172646912

double значений.

Для 0,0..0,5: вам нужно позаботиться об экспонентах от -1 до минимально возможного, а затем умножить, сколько вы получите, на количество различных значений, которые вы можете представить в мантиссе.

Для каждого значения в этом диапазоне, если вы удвоите его, вы получите значение в диапазоне 0,5..1,0. А удвоение - это просто увеличение показателя степени.

Вам также нужно беспокоиться о ненормализованных числах, где мантисса используется не для представления 1.x, а для 0.x, и, таким образом, все они будут в вашем нижнем диапазоне, но не могут быть удвоены путем увеличения показателя степени (поскольку конкретное значение показателя степени используется, чтобы указать, что значение ненормализовано).

Сам по себе это не ответ, но вы можете получить некоторую информацию из nextafter функция. Что-то вроде этого должно помочь вам ответить на ваш вопрос, хотя вам придется вычислить математику самостоятельно:

float f = 0;
while(f < 0.5)
  {
    print("%f (repr: 0x%x)\n", f, *(unsigned *)&f);
    f = nextafterf(f, 0.5);
  }

Керрек дал лучшее объяснение :)

На всякий случай вот код для игры с другими интервалами
http://coliru.stacked-crooked.com/a/7a75ba5eceb49f84

#include <iostream>
#include <cmath>

template<typename T>
unsigned long long int floatCount(T a, T b)
{
    if (a > b)
        return 0;

    if (a == b)
        return 1;

    unsigned long long int count = 1;

    while(a < b) {
        a = std::nextafter(a, b);
        ++count;
    }

    return count;
}

int main()
{
    std::cout << "number of floats in [0.5..1.0] interval are " << floatCount(0.5f, 1.0f);    
}

отпечатки

number of floats in [0.5..1.0] interval are 8388609