Если у меня есть точка (x, y, z), как спроецировать ее на сферу (x0, y0, z0, радиус) (на ее поверхности). Моим вводом будут координаты точки и сферы. На выходе должны быть координаты спроецированной точки на сфере.
Просто преобразовать декартовы координаты в сферические?
Для простейшей проекции (по линии, соединяющей точку с центром сферы):
Запишите точку в системе координат с центром в центре сферы (x0,y0,z0):
P = (x',y',z') = (x - x0, y - y0, z - z0)
Вычислите длину этого вектора:
|П| = sqrt(x'^2 + y'^2 + z'^2)
Масштабируйте вектор так, чтобы его длина равнялась радиусу сферы:
Q = (радиус/|P|)*P
И вернитесь к исходной системе координат, чтобы получить проекцию:
R = Q + (x0,y0,z0)
В основном вы хотите построить линию, проходящую через центр сферы и точку. Затем вы пересекаете эту линию со сферой, и у вас есть точка проекции.
Подробнее:
Пусть p будет точкой, s центром сферы и r радиусом, затем x = s + r*(p-s)/(norm(p-s)), где x будет точкой, которую вы ищете. Реализация остается за вами.
Я согласен с тем, что подход со сферическими координатами также будет работать, но требует больше вычислительных ресурсов. В приведенной выше формуле единственной нетривиальной операцией является извлечение квадратного корня из нормы.
Это работает, если вы установите координаты центра сферы в качестве начала системы (x0, y0, z0). Таким образом, у вас будут координаты точки, относящиеся к этому началу координат (Xp', Yp', Zp'), и, преобразуя координаты в полярные, вы отбрасываете радиус (расстояние между центром сферы и точкой) и углы будет определять проекцию.
