Интеграция функции с использованием неравномерной меры (python/scipy)

Я хотел бы интегрировать функцию в python и указать плотность вероятности (меру), используемую для выборки значений. Если это не очевидно, интегрирование f(x)dx в [a,b] неявно использует равномерную плотность вероятности по [a,b], и я хотел бы использовать свою собственную плотность вероятности (например, экспоненциальную).

Я могу сделать это сам, используя np.random.*, но тогда

  • Мне не хватает оптимизаций, доступных в scipy.integrate.quad. Или, может быть, все эти оптимизации предполагают равномерную плотность?
  • Мне нужно самому сделать оценку ошибки, что не тривиально. Или, может быть, это так? Может быть, ошибка - это просто дисперсия sum(f(x))/n?

Любые идеи?


python numpy scipy probability numerical-methods
person Uri Cohen    schedule 03.09.2012    source источник
comment
Можно ли представить интеграл от f(x) d(mu) (где mu — мера) как интеграл от f(x)g(x) dx для некоторой функции плотности g?   -  person unutbu    schedule 03.09.2012
comment
да, я могу предположить, что либо у меня явно есть g, либо что я могу сделать выборку x в соответствии с g. Я вижу, куда ты клонишь :)   -  person Uri Cohen    schedule 03.09.2012

Ответы (3)


arrow_upward
0
arrow_downward

Как сказал unutbu, если у вас есть функция плотности, вы можете просто интегрировать продукт своей функции с pdf, используя scipy.integrate.quad.

Для дистрибутива, доступного в scipy.stats, мы также можем просто использовать функцию ожидания.

Например

>>> from scipy import stats

>>> f = lambda x: x**2

>>> stats.norm.expect(f, loc=0, scale=1)
1.0000000000000011

>>> stats.norm.expect(f, loc=0, scale=np.sqrt(2))
1.9999999999999996

scipy.integrate.quad также имеет некоторые предопределенные весовые функции, хотя они не нормализованы как функции плотности вероятности.

Ошибка аппроксимации зависит от настроек вызова integrate.quad.

person Josef    schedule 03.09.2012

arrow_upward
0
arrow_downward

Для краткости было предложено 3 способа вычисления ожидаемого значения f(x) при вероятности p(x):

  • Предполагая, что p задано в закрытой форме, используйте scipy.integrate.quad для оценки f(x)p(x)
  • Предполагая, что p можно взять из выборки, выберите N значений x=P(N), затем оцените ожидаемое значение с помощью np.mean(f(X)) и ошибку с помощью np.std(f(X))/np.sqrt(N).
  • Предполагая, что p доступен в stats.norm, используйте stats.norm.expect(f)
  • Предполагая, что у нас есть CDF(x) распределения, а не p(x), вычислите H=Inverse[CDF], а затем проинтегрируйте f(H(x)), используя scipy.integrate.quad.
person Uri Cohen    schedule 04.09.2012

arrow_upward
0
arrow_downward

Другой возможностью было бы интегрировать x -> f (H (x)), где H - это инверсия кумулятивного распределения вашего распределения вероятностей.

[Это происходит из-за замены переменной: замена y=CDF(x) и замечание, что p(x)=CDF'(x) дает изменение dy=p(x)dx и, таким образом, int{f(x)p(x) )dx}==int{f(x)dy}==int{f(H(y))dy с H обратным CDF.]

person dmuir    schedule 05.09.2012