Двумерное гауссово распределение не равно единице?

ПРИМЕЧАНИЕ. Как указано в комментариях ниже, это решение допустимо только в том случае, если вы пытаетесь построить ядро ​​свертки Гаусса (или фильтр Гаусса) для целей обработки изображений. Это не нормированная гауссова функция плотности, но это форма, которая используется для удаления гауссовского шума из изображений.

Вам не хватает нормализации L1:

ker /= np.abs(ker).sum()

Что заставит ваше ядро ​​вести себя как реальная функция плотности. Поскольку сетка, которую вы имеете, может сильно различаться по величине своих значений, необходим описанный выше шаг нормализации.

На самом деле, константа гауссовой нормализации, которую вы имеете, может быть опущена, чтобы просто использовать норму L1, указанную выше. Если я не ошибаюсь, вы пытаетесь создать гауссову свертка, и к ней применяется обычная техника нормализации.

Ваша вторая ошибка, как заявил @Praveen, заключается в том, что вам нужно взять сетку из [-U//2, U//2]. Вы можете сделать это как:

i, j = np.mgrid[-U//2:U//2+1, -U//2:U//2+1]

Наконец, если вы пытаетесь построить фильтр Гаусса, размер ядра обычно оценивается от сигмы (чтобы избежать нулей далеко от центра) как U//2 <= t * sigma, где t — параметр усечения, обычно устанавливаемый t=3 или t=4.

В настоящее время (сильно увеличенный) контурный график вашего ker выглядит следующим образом:

Как видите, это совсем не похоже на ядро ​​Гаусса. Большая часть вашей функции умирает от 0 до 1. Глядя на само ядро, мы видим, что все значения действительно очень быстро умирают:

>>> ker[0:5, 0:5]
array([[  1.592e+001,   3.070e-021,   2.203e-086,   5.879e-195,   0.000e+000],
       [  3.070e-021,   5.921e-043,   4.248e-108,   1.134e-216,   0.000e+000],
       [  2.203e-086,   4.248e-108,   3.048e-173,   8.136e-282,   0.000e+000],
       [  5.879e-195,   1.134e-216,   8.136e-282,   0.000e+000,   0.000e+000],
       [  0.000e+000,   0.000e+000,   0.000e+000,   0.000e+000,   0.000e+000]])

Суммарное значение 15,915, которое вы получаете, в основном просто ker[0, 0]. Все это говорит вам о том, что вы неправильно строите свою сетку.

Помните, что при создании ядра на компьютере вам придется пробовать его в соответствующих точках. Слишком грубая выборка приведет к тому, что ваша сумма не будет правильной.

Итак, во-первых, если вы хотите, чтобы полная плотность была сосредоточена вокруг mu=0, вам нужно взять i и j от -U // 2 до U // 2. Но чтобы решить вашу проблему с разрешением, я рекомендую взять U точек между -0,5 и 0,5.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

U = 60
m = np.linspace(-0.5, 0.5, U)    # 60 points between -1 and 1
delta = m[1] - m[0]              # delta^2 is the area of each grid cell
(x, y) = np.meshgrid(m, m)       # Create the mesh

sigma = 0.1
norm_constant = 1 / (2 * np.pi * sigma**2)

rhs = np.exp(-.5 * (x**2 + y**2) / sigma**2)
ker = norm_constant * rhs
print(ker.sum() * delta**2)

plt.contour(x, y, ker)
plt.axis('equal')
plt.show()

Это дает сумму, близкую к 1,0, и ядро ​​с центром в mu=0, как и ожидалось.

Знание того, какой диапазон выбрать (от -0,5 до 0,5) в этом случае, зависит от вашей функции. Например, если вы теперь возьмете sigma = 2, вы обнаружите, что ваша сумма снова не сработает, потому что теперь вы делаете выборку слишком мелко. Настройка вашего диапазона как функции ваших параметров - что-то вроде -5 * sigma до 5 * sigma - может быть лучшим вариантом.